Замена ручки, действительно, ничего не дала.
Пришлось вызывать специалиста по замкам. По приезду он "приговорил" замок, а через час полностью заменил его, выдал новые ключи.
Сейчас всё работает замечательно и даже дверь теперь не приходится подпирать при закрывании!
Всем спасибо за участие!